Природа математики как науки

Проблема обоснования математического знания сводится к обоснованию строгости и непротиворечивости математических теорий. Если они строги и непротиворечивы, то математика не фальсифицируема, а, значит, не является наукой в понимании науки К. Поппером.
Если мы доказываем строгость математических доказательств, то должны выйти за пределы инструментов математики, так как рассуждение, которое доказывает строгость математического доказательства, само должно быть основано в своей строгости.
И. Лакатос доказывал, что идеально строгих доказательств в математике не существует, а, значит, математика фальсифицируема. Лакатос исходил из эмпирического взгляда на формирование математических понятий. Никакое математическое понятие, не свободно от интуиций опыта, которые несовершенны и могут всегда проявить себя в виде скрытых лемм и парадоксов в математической теории. Лакатос следует программе интуиционизма, которая полностью противоречит программе априоризма, согласно которой, исходные понятия математики даны как очевидности разума, и любое доказательство, основанное на аподиктических очевидных шагах абсолютно надёжно.
Надо отметить, что в начале XX века были намечены три программы обоснования математического знания: логицизм, интуиционизм, формализм.
Программа логицизма была сформулирована Г.Фреге. Суть её заключалась в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики. Тогда принципы математических теорий будут представлены в качестве общезначимых логических истин, так как логика основана на простой и предельно ясной системе понятий, и, можно считать её абсолютно непротиворечивой.
Но если элементарные логические исчисления удовлетворяют семантической полноте, но недостаточны для боле сложных математических теорий, которые не обладают такой формальной полнотой, и могут быть истины только при какой-либо интерпретации, но не в теории в целом. Необходимо отметить, что на сегодняшний день существует целый «веер» логик, на каждой из которой можно создать свою математику. Значит, сама логика не обладает законченной полнотой семантики, и мы не можем говорить об абсолютной непротиворечивости логики. То, что истинно в одной логике, не является истинной в другой.
Программа интуиционизма редуцировала математику к исходным представлениям арифметики, а последние рассматривались в качестве неразложимых далее интуиций сознания. Поэтому любые сложные математические объекты могут быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними. В таком случае эмпирический уровень математики, - это не истины разума, а интуиции сознания, связанные с интуитивными осознаниями количества.
Но если, мы представим возможный мир, где нет самотождественности объектов, мир, где язык строится в своей основе не на существительных, а прилагательных, то встаёт вопрос о невозможности интуитивной математики в таком мире в принципе. Данную программу можно перспективно использовать только при исследованиях исторической логики развития математических понятий в нашем мире.
Д.Гильберт предложил формалистское обоснование математики. Гильберт критикует Рассела (логицизм), так как считал, что обоснование математики Рассела опирается на утверждения аксиом сводимости и бесконечности, которые можно понимать только как гипотезы. Строгость математики может быть достигнута только через уточнение её языка и прояснение логической структуры, то есть, через формализацию (в этом он был согласен с логицистами). Но он соглашался и с Бауэром (интуиционистами), что истинность математического суждения относительно бесконечного множества не может быть проверена (закон исключения третьего).
Поэтому Гильберт формулирует принцип финитизма, согласно которому оперирование с бесконечным множеством может быть проверено только через конечное.
Любая формализованная теория предполагает метатеорию, которая определяет семантику, формализмы, законы операций, то есть, тем самым формализация ограничивает бесконечное конечным формальным языком. Поэтому можно говорить о непротиворечивости только в рамках правил заданного языка, за его пределами непротиворечивое может стать противоречивым. Тем самым, Гильберт инициировал построение множества формальных языков со своими логиками и математическими теориями. Но и здесь встал вопрос о возможности обоснования строгости и непротиворечивости. Ведь любая формализованная теория, логика, язык неполны, и требуют выхода за свои пределы, для своего обоснования. Если так рассуждать дальше, то конечной метатеорией может быть только теория бесконечного. Таким образом, Гёдель, по сути, доказал, что любая формализованная теория неполна, а, значит может быть фальсифицирована и является научно рациональной. Математика, логика, теория структур, систем, теория языка, - все умозрительные виды знаний научны, так как неполны, в связи с тем, что разум, создавая формализм, ограничивает себя им. А если исключить формальное ограничение, то мы выходим за пределы не только научной рациональности, но и рациональности вообще.
Но с другой стороны, любая умозрительная наука, даже будучи формализованной, всегда в метатеории прибегает к интуитивно очевидным понятиям. Таким понятием, например, в математике являются множество, в теоретической физике, - поле. Поэтому формализм в умозрительной науке необходим для рационализации, но и самая формальная наука всегда оперирует иррациональными понятиями. Да и возможны ли чистый формализм, чистая рациональность?


Итак, выше было отмечено, что любая формальная структура ограничивается своим формализмом, как в семантическом, так и в синтаксическом и прагматическом аспектах. И благодаря этому формальному ограничению, становится наукой, приобретает черты научной рациональности.
Но, очевидно, что математика обладает своей научной рациональностью, со своими характеристиками. Любая наука ограничена своим предметом. Ограничена ли математика и любая формальная наука, то есть, наука о чистых формах предметом. Если такого предмета в математике нет, то она является «over science», то есть не является наукой по определению.
Какой же предмет математики? Лучше всего, на наш взгляд, дал определение данного предмета академик А.Н. Колмогоров.
«В основе всей математики лежит теория множеств. Специальные разделы математики занимаются структурами, принадлежащими к тем или иным специальным родам структур. Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом. Математика интересуется только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, то есть, изучает структуры с точность до изоморфизма».
Род структур – это упорядоченные определённым образом множества. Сводя свой предмет к различным родам упорядоченных множеств, математика ограничивает свою актуально бесконечную полноту и становится наукой. То есть, выход за пределы теории определённого рода структур, позволяет фальсифицировать теорию, тем самым, обеспечивая развитие математических теорий. Любые теории в таком случае являются правдоподобными гипотезами. Но фальсификация происходит не за счёт проверки опытом, а за счёт выхода разума за пределы ограничений, наложенных теорией.
Таким образом, математика является наукой о «мысленно возможных мирах», их структурах. Но количество этих миров является актуально бесконечным множеством, адекватным актуальной бесконечности чистого разума.
Поэтому математическую рациональность можно отнести к логико-математической рациональности. Она характеризуется идеальной предметностью и возможностью фальсификации, основанной на снятии ограничений разума, заложенных в математических теориях.
Без логико-математической рациональности невозможна никакая наука. Она всегда присутствует в любой науке как тип научной рациональности. Речь может идти только о степени её доминирования. Полностью построены на этой рациональности все формальные науки, изучающие чистые структуры.
В настоящее время идёт активное развитие данного типа научной рациональности. Формализация проникает во многие науки, которые раньше обходились без формализации.
Возможно, что постоянное расширение пределов математики приведёт её к слиянию с теми знаниями о формальных структурах, которые есть в науке о языке (особенно, с учётом бурного развития формализованных языков). В таком случае можно говорить не о математике в классическом понимании, а о науке, изучающей любые формы и структуры. Что это будет за наука, трудно сказать. Но научное знание уже не может ограничиваться программой познания природы при помощи разума и опыта, а выходит опять на познание чистого разума, ибо в нём заложены все возможные формы.